Question

16．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-1，x≥0}\\{{-x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$，若方程f[f（x）]=a（a∈R），则由该方程的实根的个数构成的集合为{1，2，3，4，5}．

Answer 1

分析 结合分段函数可知，分三种情况讨论函数y=f[f（x）]的单调性及极值情况，从而作出函数的图象，从而确定方程f[f（x）]=a的实根个数即可．

解答 解：①当x≥0时，
f（x）=e^x-1≥0且在[0，+∞）上是增函数；
故f[f（x）]在[0，+∞）上是增函数；
且f[f（x）]≥f（f（0））=0；
②当-2≤x＜0时，
f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1，
f（x）在[-2，-1]上是增函数，在[-1，0]上是减函数；
且f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1≥0；
而f（x）=e^x-1在[0，+∞）上是增函数；
故f[f（x）]在[-2，-1]上是增函数，在[-1，0）上是减函数；
且f（f（-2））=0，f（f（-1））=e-1，f（f（0））=0；
③当x＜-2时，
f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1＜0，
且f（x）在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，0）上是减函数；
由-x²-2x≤-1得，
x≤-$\sqrt{2}$-1；
故f[f（x）]在（-∞，-$\sqrt{2}$-1]上是增函数，在[-$\sqrt{2}$-1，-2）上是减函数；
且f（f（-$\sqrt{2}$-1））=1，f（f（-2））=0；
作函数y=f[f（x）]的图象如下，

结合图象可知，
方程f[f（x）]=a解的个数可能为1，2，3，4，5；
故构成的集合为{1，2，3，4，5}；
故答案为：{1，2，3，4，5}．

点评 本题考查了分段函数的应用及函数的图象与方程的根的关系应用，同时考查了分类讨论与数形结合的思想应用，属于难题．