Question

4．设a＞0且a≠1，求函数f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+${a}^{\frac{x}{2}}$）-a${\;}^{\frac{x+1}{2}}$（x∈[0，+∞））的值域．

Answer 1

分析 换元配方得出令t=a${\;}^{\frac{x}{2}}$，则y=$\frac{1}{2}{t}^{2}$$+\frac{1}{2}t$$-t\sqrt{a}$=$\frac{1}{2}$（t-$\sqrt{a}$）²，利用二次函数分类讨论．

解答 解：a＞0且a≠1，求函数f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+${a}^{\frac{x}{2}}$）-a${\;}^{\frac{x+1}{2}}$（x∈[0，+∞））
令t=a${\;}^{\frac{x}{2}}$，则y=$\frac{1}{2}{t}^{2}$$+\frac{1}{2}t$$-t\sqrt{a}$=$\frac{1}{2}$t²+（$\frac{1}{2}-$$\sqrt{a}$）t，对称轴t=$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$，
当0$＜a≤\frac{1}{4}$时，$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$＜0，t∈（0，1]，值域（0，1-$\sqrt{a}$]，
当$\frac{1}{4}$＜a＜1时，0＜$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$，t∈（0，1]，值域[-（$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$）²，1-$\sqrt{a}$]
当a＞1时，t≥1，
当a$≥\frac{9}{4}$时，$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$≥1，值域[-（$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$）²，+∞）
当1$＜a＜\frac{9}{4}$时，$\sqrt{a}$$-\frac{1}{2}$＜1，值域[1-$\sqrt{a}$，+∞]

点评 本题考查了运用换元，分类讨论求解指数类型的函数的值域问题，考查了学生度二次函数性质的运用，属于中档题．