Question

14．设函数f（x）=$\frac{sinθ}{3}{x^3}+\frac{{\sqrt{3}cosθ}}{2}{x^2}$+tanθ，则f′（1）取值范围[-2，2]．

Answer 1

分析 先根据导数的运算法则求导，再代入值，根据三角函数的和差公式以及正弦函数的性质即可求出．

解答 解：函数f（x）=$\frac{sinθ}{3}{x^3}+\frac{{\sqrt{3}cosθ}}{2}{x^2}$+tanθ，
∴f′（x）=x²sinθ+$\sqrt{3}$xcosθ，
∴f′（1）=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）=2sin（θ+$\frac{π}{3}$），
∵-1≤sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-2≤f′（1）≤2，
故f′（1）取值范围为[-2，2]．
故答案为：[-2，2]．

点评 本题考查了导数的运算和三角形函数的和差公式和性质，属于基础题．