Question

3．设f（x）=6cos²x-$\sqrt{3}$sin2x
（1）求f（x）的最大值及最小正周期
（2）若α满足f（$\frac{α}{2}$）=3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求sin（2$α-\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用三角函数图象与性质求得函数的最大值和最小正周期．
（2）根据已知等式求得cos（α+$\frac{π}{6}$）的值，利用倍角公式求得cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值，最后通过诱导公式求得答案．

解答 解：（1）f（x）=3cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+3=2$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+3，
∴函数的最大值为2$\sqrt{3}$+3，
最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）f（$\frac{α}{2}$）=2$\sqrt{3}$cos（α+$\frac{π}{6}$）+3=3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=2cos²（α+$\frac{π}{6}$）-1=-$\frac{7}{9}$，
sin（2$α-\frac{π}{6}$）=-cos（$\frac{π}{2}$+2α-$\frac{π}{6}$）=-cos（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{7}{9}$

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．注重了对学生基础公式的灵活运用的考查．