Question

11．已知二次函数f（x）=x²，数列{a_n}的前n项和为s_n，点（n，s_n）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}，b_n=a_n.2ⁿ，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由点（n，s_n）均在函数y=f（x）的图象上．可得S_n=n²．利用递推式可得a_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵点（n，s_n）均在函数y=f（x）的图象上．
∴S_n=n²．
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时上式也成立，
∴a_n=2n-1 （n∈N^*）．
（2）由（1）得知：b_n=a_n.2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，
故T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
两式相减的：-T_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=$\frac{4×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．