Question

20．已知函数f（x）=ln（x+m+1），m∈R．
（I）若直线y=x+1与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；
（Ⅱ）当m≤1时，求证f（x）＜e^x．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，设出切点，求得切线的斜率，由点满足曲线和切线方程，解方程，可得m=1：
（2）由m≤1，可得ln（x+m+1）≤ln（x+2），要证f（x）＜e^x，只需证ln（x+2）＜e^x，令h（x）=e^x-ln（x+2），求出导数，运用零点存在定理，可得?x₀∈（-1，0），使h′（x₀）=0，求得h（x）的最小值，证明它大于0，即可得证．

解答 解：函数f（x）=ln（x+m+1）的导数f′（x）=$\frac{1}{x+m+1}$，
（1）设直线y=x+1与函数f（x）的图象切于点（x₀，y₀），
则y₀=x₀+1，y₀=ln（x₀+m+1），$\frac{1}{{x}_{0}+m+1}$=1，
解得x₀=-1，y₀=0，m=1；
（2）证明：由m≤1，可得ln（x+m+1）≤ln（x+2），
要证f（x）＜e^x，只需证ln（x+2）＜e^x，
令h（x）=e^x-ln（x+2），则h′（x）=e^x-$\frac{1}{x+2}$，
由h′（-1）=$\frac{1}{e}$-1＜0，h′（0）=$\frac{1}{2}$＞0，
即有?x₀∈（-1，0），使h′（x₀）=0，
即${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{2+{x}_{0}}$，ln（x₀+2）=-x₀，
则h（x）在（-2，x₀）上递减，在（x₀，+∞）上递增，
即有h（x）_min=h（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2），
则h（x）≥h（x）_min=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2）=$\frac{1}{2+{x}_{0}}$+x₀=$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{2+{x}_{0}}$＞0，
则有f（x）＜e^x．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．