Question

10．设函数$\overrightarrow a=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}），\overrightarrow b=（cos2ωx，-sin2ωx）$，令f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[π，$\frac{3π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到f（x）解析式，然后利用两角和与差的三角函数公式化简，由周期求ω的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到f（x），明确自变量范围，结合正弦函数的有界性求最值．

解答 解：（ I）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2ωx-\frac{1}{2}sin2ωx$=$-sin（2ωx-\frac{π}{3}）$．
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为$\frac{π}{4}$，
又ω＞0，所以$\frac{2π}{2ω}=4×\frac{π}{4}$，因此ω=1；
（ II）由（ I）知$f（x）=-sin（2x-\frac{π}{3}）$，
当$π≤x≤\frac{3π}{2}$时，$\frac{5π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{8π}{3}$，
所以$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤1$，因此$-1≤f（x）≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故f（x）在区间$[π，\frac{3π}{2}]$上的最大值和最小值分别为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-1$．

点评 本题考查了向量的数量积、三角函数式的化简以及区间上的最值求法；关键是正确化简三角函数式．