Question

19．已知数列{a_n}为等比数列，a₄+a₁₄=5，a₇•a₁₁=6，则$\frac{{{a_{20}}}}{{{a_{10}}}}$=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{2}{3}或\frac{3}{2}$
• D． $-\frac{2}{3}或-\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由等比数列的性质和韦达定理易得a₄和a₁₄的值，由等比数列的通项公式可得答案．

解答 解：∵a₄+a₁₄=5，a₇•a₁₁=6，
∴a₄•a₁₄=a₇•a₁₁=6，
∴a₄和a₁₄为方程x²-5x+6=0的两根，
解方程可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=3}\\{{a}_{14}=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=2}\\{{a}_{14}=3}\end{array}\right.$，
∴当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=3}\\{{a}_{14}=2}\end{array}\right.$时，$\frac{{{a_{20}}}}{{{a_{10}}}}$=$\frac{{a}_{14}}{{a}_{4}}$=$\frac{2}{3}$，
当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=2}\\{{a}_{14}=3}\end{array}\right.$时，$\frac{{{a_{20}}}}{{{a_{10}}}}$=$\frac{{a}_{14}}{{a}_{4}}$=$\frac{3}{2}$，
故选：C

点评 本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程根与系数关系，属基础题．