Question

2．在△ABC中，AB=4$\sqrt{6}$，cosB=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，AC边上的中线BD=3$\sqrt{5}$，则sinA=$\frac{\sqrt{70}}{14}$．

Answer 1

分析 通过充分利用D是中点，构造新三角形，在新三角形中解出BC的一半求出BC，再由余弦定理求边AC，下则可用正弦定理求出sinA．

解答 解：设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB，且DE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{6}$，设BE=x．
由DE∥AB可得出∠BED=π-∠B，即cos∠BED=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$
在△BDE中利用余弦定理可得：BD²=BE²+ED²-2BE•EDcos∠BED，45=x²+24+2×2$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}}{6}$x，
解得x=3，x=-7（舍去）．
故BC=6，从而AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB=88，即AC=2$\sqrt{21}$
又sinB=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，故$\frac{6}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{30}}{6}}$，sinA=$\frac{\sqrt{70}}{14}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{70}}{14}$．

点评 解三角形的特征是把题目中所给的条件全部集合到一个三角形中，依次解出边、角，达到解三角形的目的．