Question

5．函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象如图所示，则函数g（x）=log₂（x²+$\frac{2b}{3}$+$\frac{c}{3}$）的单调递减区间是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• C． （-2，3）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由图象得到f′（-2）=f（3）=0，联立求得b，c的值，代入g（x）=x²+$\frac{2b}{3}$+$\frac{c}{3}$，由g（x）＞0求得x的范围，再由导数求出函数g（x）的减区间，则函数g（x）=log₂（x²+$\frac{2b}{3}$+$\frac{c}{3}$）的单调递减区间可求．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
由图可知f′（-2）=f（3）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-4b+c=0}\\{27+6b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-18}\end{array}\right.$令g（x）=则g（x）=x²-x-6，g′（x）=2x-1．
由g（x）=x²+$\frac{2b}{3}$+$\frac{c}{3}$=x²-x-6＞0，解得x＜-2或x＞3．
当x＜$\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，
∴g（x）=x²-x-6在（-∞，-2）上为减函数．
∴函数g（x）=log₂（x²+$\frac{2b}{3}$+$\frac{c}{3}$）的单调递减区间为（-∞，-2）．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，训练了简单的复合函数单调性的求法，关键是注意函数的定义域，是中档题．