Question

17．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对应边长，已知2sin²A=3cosA．
（1）求∠A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式求得cosA的值，进而求得A．
（2）根据余弦定理建立等式，利用基本不等式的性质确定bc的最大值，进而代入三角形面积公式求得面积的最大值．

解答 解：（1）∵2sin²A=3cosA，
∴2（1-cos²A）=3cosA，
∴2cos²A+3cosA-2=0，
解得cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，
又∵b²+c²-a²=bc，
∴a²=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
当且仅当a=b时等号成立，
∴bc≤a²=（$\sqrt{3}$）²=3，
∴S_△ABC≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．即△ABC面积的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键是确定bc的范围．