Question

2．设正项数列{a_n}的前n项和是S_n，若{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}都是等差数列，{a_n}的公差为d，数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差为$\frac{d}{8}$，则a₁+d=48．

Answer 1

分析 由题意可得：a_n=a₁+（n-1）d，$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\frac{d}{8}（n-1）$．分别令n=2，3，可得$\sqrt{2{a}_{1}+d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\frac{d}{8}$，$\sqrt{3{a}_{1}+3d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\frac{d}{4}$，联立解出即可．

解答 解：∵{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}都是等差数列，{a_n}的公差为d，数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差为$\frac{d}{8}$，
∴a_n=a₁+（n-1）d，$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\frac{d}{8}（n-1）$．
分别令n=2，3，可得$\sqrt{2{a}_{1}+d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\frac{d}{8}$，$\sqrt{3{a}_{1}+3d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+$\frac{d}{4}$，
联立解得a₁=16，d=32．
∴a₁+d=48．
故答案为：48．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．