Question

12．PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜$\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，若以如图所示建立空间直角坐标系，则E点坐标为（　　）

• A． （1，1，2）
• B． （2，2，1）
• C． （1，1，1）
• D． $（1\;，\;1\;，\;\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出．

解答 解：设P（0，0，t），（t＞0），D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，1，$\frac{t}{2}$），
∴$\overrightarrow{DP}$=（0，0，t），$\overrightarrow{AE}$=$（-1，1，\frac{t}{2}）$．
∴$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AE}$=$\frac{{t}^{2}}{2}$，$|\overrightarrow{DP}|$=t，$|\overrightarrow{AE}|$=$\sqrt{2+\frac{{t}^{2}}{4}}$．
∵cos＜$\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{t×\sqrt{2+\frac{{t}^{2}}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得t=2．
∴E（1，1，1）．
故选：C．

点评 本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．