下面4个结论中.正确结论的个数是( )①若数列{an}是等差数列.且am+an=as+at(m.n.s.t∈N*).则m+n=s+t,②若Sn是等差数列{an}的前n项的和.则Sn.S2n-Sn.S3n-S2n成等差数列,③若Sn是等比数列{an}的前n项的和.则Sn.S2n-Sn.S3n-S2n成等比数列,④若Sn是等比数列{an}的前n项的和.且Sn=Aqn+B,(其中A.B是非零常数.n� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．下面4个结论中，正确结论的个数是（　　）
①若数列{a_n}是等差数列，且a_m+a_n=a_s+a_t（m，n，s，t∈N^*），则m+n=s+t；
②若S_n是等差数列{a_n}的前n项的和，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等差数列；
③若S_n是等比数列{a_n}的前n项的和，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比数列；
④若S_n是等比数列{a_n}的前n项的和，且S_n=Aqⁿ+B；（其中A、B是非零常数，n∈N^*），则A+B为零．

A．

B．

C．

D．

分析 ①取数列{a_n}为常数列，即可推出该命题是假命题；
②根据等差数列的性质，推出2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），即可得到S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…为等差数列；
③利用等比数列的特例判断选项是否正确；
④根据数列的前n项的和减去第n-1项的和得到数列的第n项的通项公式，即可得到此等比数列的首项与公比，根据首项和公比，利用等比数列的前n项和的公式表示出前n项的和，结合等比数列前n项和公式分析可得结论是否正确．

解答解：①取数列{a_n}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有a_m+a_n=a_s+a_t，故错；
②设等差数列a_n的首项为a₁，公差为d，
则S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，
同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，
∴2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），
∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差数列．此选项正确；
③设a_n=（-1）ⁿ，
则S₂=0，S₄-S₂=0，S₆-S₄=0，
∴此数列不是等比数列，此选项错；
④因为a_n=S_n-S_n-1=（Aqⁿ+B）-（Aq^n-1+B）=Aqⁿ-Aq^n-1=（Aq-1）•q^n-1，
所以此数列为首项是Aq-1，公比为q的等比数列，
则S_n=$\frac{（Aq-1）（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
所以B=$\frac{Aq-1}{1-q}$，A=-$\frac{Aq-1}{1-q}$，∴A+B=0，故正确；
即有②④正确．
故选：C．

点评此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质化简求值，是一道综合题．属中档题．

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