Question

17．已知离心率为$\frac{4}{5}$的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为$2\sqrt{34}$（1）求椭圆及双曲线方程   
（2）设椭圆左右顶点分别为A，B，在第二象限内取双曲线上一点P，连BP交椭圆于M，若$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MP}$，求三角形ABM的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题目条件列式求得椭圆方程和双曲线方程．
（2）A （-5，0）B （5，0）设M（x，y）为椭圆上点，P（2x-5，2y）代入椭圆方程，求得坐标，再利用三角形面积公式求得三角形面积．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，
$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}+{b^2}=34}\\{\frac{c}{a}=\frac{4}{5}}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}+{b^2}=34}\\{\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{16}{25}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=25}\\{{b^2}=9}\end{array}}\right.$，
所以椭圆方程  $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$双曲线方程$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$；
（2）A （-5，0）B （5，0）设M（x，y）为椭圆上点，P（2x-5，2y），
代入$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{（2x-5{）^2}}}{25}-\frac{{4{y^2}}}{9}=1}\\{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1}\end{array}}\right.$得：2x²-5x-26=0，解得x₁=5（舍去），或 $\left\{{\begin{array}{l}{{x_2}=-\frac{5}{2}}\\{{y_2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，
${S_{△ABM}}=\frac{1}{2}×10×\frac{{3\sqrt{3}}}{2}=\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查圆锥曲线的性质应用和圆锥曲线中三角形面积的求法，属于中档题型．