Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$═（2，sinθ）与$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ）互相平行，其中θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
（1）求sin2θ和cos2θ的值；
（2）若sin（θ-φ）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，求φ的值．

Answer 1

分析 （1）由向量平行得到θ的等式，根据基本关系式以及倍角公式求值；
（2）由sin（θ-φ）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，结合两角范围求出cos（θ-φ），再利用cosφ=cos[θ-（θ-φ）]求φ．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$互相平行，
∴sinθ=2cosθ，
代入sin²θ+cos²θ=1得sinθ=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（3分）
∴$sin2θ=2sinθcosθ=\frac{4}{5}$$cos2θ={cos^2}θ-{sin^2}θ=-\frac{3}{5}$…（5分）
（2）∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{2}＜θ-$φ＜$\frac{π}{2}$，
由sin（θ-φ）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，得cos（θ-φ）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（θ-φ）}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，…（7分）
∴cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵$φ∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$φ=\frac{π}{4}$…（10分）

点评 本题考查了向量平行的性质运用以及三角函数式的化简求值；注意三角函数符号以及名称．