Question

13．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）满足R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x-0.8（0≤x≤5）}\\{10.2（x＞5）}\end{array}\right.$，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？

Answer 1

分析 （1）根据利润=销售收入-总成本，列出解析式；要使工厂有赢利，即解不等式f（x）＞0，分0≤x≤5时和x＞5时分别求解即可；
（2）分别求出0≤x≤5时和x＞5时f（x）的最大值，取最大的即可．

解答 解：依题意，G（x）=x+2，设利润函数为f（x），则
f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+3.2x-2.8，（0≤x≤5）}\\{8.2-x，（x＞5）}\end{array}\right.$
（1）要使工厂有赢利，即解不等式f（x）＞0，当0≤x≤5时，
解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0．
即x²-8x+7＜0．
∴1＜x＜7，∴1＜x≤5．（2分）
当x＞5时，解不等式8.2-x＞0，得x＜8.2．
∴5＜x＜8.2．
综上，要使工厂赢利，x应满足1＜x＜8.2，
即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．
（2）0≤x≤5时，f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
故当x=4时，f（x）有最大值3.6．
而当x＞5时，f（x）＜8.2-5=3.2所以，当工厂生产400万台产品时，赢利最多．
又x=4时，$\frac{R（4）}{4}$=240（元/台），
故此时每台产品售价为240（元/台）．

点评 本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地掌握分段函数的求最值问题及解不等式问题．