Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin²（$\frac{A+B}{2}$）+3cos2C=3．
（1）求cosC；
（2）若B=$\frac{π}{2}$，2$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MC}$，求tan∠ABM．

Answer 1

分析 （1）利用两角和公式和二倍角公式求得cosC的值．
（2）设出BC，则AB，AC，AM，CM可知，利用余弦定理求得BM，进而利用正弦定理求得sin∠CBM，则cot∠CBM可求得，最后利用诱导公式求得答案．

解答 解：（1）8sin²（$\frac{A+B}{2}$）+3cos2C=8•$\frac{1-cos（A+B）}{2}$+3cos2C=4-4cos（A+B）+3cos2C=4+4cosC+3cos2C=3，
∴3cos2C+4cosC+1=0，
∴6cos²C+4cosC-2=0，
∴cosC=-1或$\frac{1}{3}$，
故cos=$\frac{1}{3}$．
（2）如图：B=$\frac{π}{2}$，cosC=$\frac{1}{3}$，
做MN∥BC，交AB于点N，
设BC=t，则AC=3t，AM=t，CM=2t，AB=2$\sqrt{2}$t，
又由MN∥BC，
则MN=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{t}{3}$，NB=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$t，
tan∠ABM=$\frac{MN}{NB}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题过程中运用了转化的思想，求得cosC的值是关键．