Question

17．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB₁的中点，则下列结论中错误的是（　　）

• A． D₁O∥平面A₁BC₁
• B． D₁O⊥平面AMC
• C． 二面角M-AC-B等于45°
• D． 异面直线BC₁与AC所成的角等于60°

Answer 1

分析 根据正方体的性质以及空间线面平行、线面垂直、空间角对选项分别分析选择．

解答 解：如图，

对于A，连接B₁D₁，交A₁C₁于N，则可证明OD₁∥BN，由OD₁?面A₁BC₁，BN?面A₁BC₁，可得D₁O∥面A₁BC₁，故A正确；
对于B，由三垂线定理的逆定理可得OD₁⊥AC，设正方体棱长为2，可求得OM²=3，OD12=6，MD12=9，
则OD12+OM2=D1M2，有OD₁⊥OM，由线面垂直的判定可得D₁O⊥平面AMC，故B正确；
对于C，∠MOB为二面角M-AC-B的平面角，在Rt△MBO中，∵OB≠BM，∴二面角M-AC-B不等于45°，故C错误．
对于D，由正方体的面对角线相等得到△A₁BC₁为正三角形，即∠A₁C₁B=60°，∴异面直线BC₁与AC所成的角等于60°，故D正确；
故选：C

点评 本题考查了空间直线和平面的位置关系，考查了异面直线所成角、二面角的求法，是中档题．