Question

1．有一个角为60°的钝角三角形，满足最大边与最小边之比为m，则m的取值范围为（2，+∞）．

Answer 1

分析 设钝角三角形的三内角为：60°-α，60°，60°+α，则90°＜60°+α＜120°，求出α的范围，由正弦定理求得tanα=$\frac{\sqrt{3}（m-1）}{m+1}$．再由tanα的范围解不等式求出m的取值范围．

解答 解：设钝角三角形的三内角为：60°-α，60°，60°+α，
则90°＜60°+α＜120°，
即30°＜α＜60°，设60°+α对应a边，60°-α对应b边，
由正弦定理，得：$\frac{a}{b}$=$\frac{sin（60°+α）}{sin（60°-α）}$=$\frac{sin60°cosα+cos60°sinα}{sin60°cosα-cos60°sinα}$=m，
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}（m-1）}{m+1}$．
∵30°＜α＜60°，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜tanα＜$\sqrt{3}$，
∴m＞2，
故m的取值范围为（2，+∞）．

点评 本题考查等差数列的定义和性质，正弦定理的应用，求得tanα=$\frac{\sqrt{3}（m-1）}{m+1}$是解题的关键，属于中档题．