练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    19．某工厂有旧墙一面，长14m，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126  m2的厂房，工程条件是：①建1m长新墙的费用为a元；②修1m长旧墙的费用为$\frac{a}{4}$元；③拆去1m长旧墙，用所得的材料建1m长新墙的费用为$\frac{a}{2}$元； ④屋顶及地面需要的费用为b元； 经讨论有两种方案：
    （1）利用旧墙的一段x m（x＜14）为矩形厂房一面的边长；
    （2）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x（x≥14）．问如何利用旧墙，即x为多少米时，建造费用最省？

    分析 （Ⅰ）分别求出修旧墙费用、将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用及建新墙的费用，得到总费用后利用基本不等式求费用的最小值；
    （Ⅱ）求出修旧墙的费用及建新墙的费用，作和后利用函数的单调性求出费用最小值，比较大小后即可得到答案．

    解答 解：设利用旧墙的一面矩形边长为x m，则矩形的另一面边长为$\frac{126}{x}$ m．
    （1）利用旧墙的一段x m（x＜14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为x•$\frac{a}{4}$元．
    将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为（14-x）•$\frac{a}{2}$元，其余建新墙的费用为（2x+$\frac{2×126}{x}$-14）a元．
    故总费用为y=x•$\frac{a}{4}$+$\frac{14-x}{2}$•a+（2x+$\frac{252}{x}$-14）a+b=7a（$\frac{x}{4}$+$\frac{36}{x}$-1）+b  （0＜x＜14）
    ≥7a•（2$\sqrt{\frac{x}{4}•\frac{36}{x}}$-1）+b=35a+b，
    当且仅当$\frac{x}{4}$=$\frac{36}{x}$，即x=12时，ymin=35a元．
    （2）若利用旧墙的一面矩形边长x≥14，
    则修旧墙的费用为$\frac{a}{4}$•14=$\frac{7}{2}$a元．
    建新墙的费用为（2x+$\frac{252}{x}$-14）a，
    故总费用为y=$\frac{7}{2}$a+（2x+$\frac{252}{x}$-14）a+b=$\frac{7}{2}$a+2a（x+$\frac{126}{x}$-7）+b （x≥14）．
    设14≤x1＜x2，则（x1+$\frac{126}{{x}_{1}}$）-（x2+$\frac{126}{{x}_{2}}$）=（x1-x2）（1-$\frac{126}{{x}_{1}{x}_{2}}$）．
    ∵14≤x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1•x2＞196．
    从而1-$\frac{126}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，所以函数y在[14，+∞）上为增函数．
    故当x=14时，ymin=$\frac{7}{2}$a+2a（14+$\frac{126}{14}$-7）+b=35.5a+b＞35a+b．
    综上所述，采用第（1）种方案，利用旧墙12 m为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a+b元．

    点评 本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式和函数的单调性求函数的最值，是中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    9．已知定义在R上的函数f（x）=ex+x2-x+sinx，则函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）
    A．y=3x-2B．y=x+1C．y=2x-1D．y=-2x+3

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    10．若函数f（x）=x2-2bx+1在区间（0，1）内有极小值$\frac{1}{4}$，则b的值为（　　）
    A．$\frac{1}{4}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{\sqrt{3}}{2}$D．1

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    7．若一个2×2列联表中，由其数据计算得K2=4.013，则有95%把握认为这两个变量有关系．
    参考数据：
    P（K2≥k）0.0500.0100.001
      k3.8416.63510.828

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    14．等差数列{an}中，Sn是它的前n项之和，且d＞0，S8=S13，则n=10或11时Sn有最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    4．设a＞0且a≠1，求函数f（x）=$\frac{1}{2}$（ax+${a}^{\frac{x}{2}}$）-a${\;}^{\frac{x+1}{2}}$（x∈[0，+∞））的值域．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    11．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个非零向量，以下三个说法中正确的有（　　）个
    ①若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为|$\overrightarrow{a}$|；
    ②若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角；
    ③若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，则存在实数λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$．
    A．0B．3C．2D．1

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    8．现有4名同学乘电梯到6至10楼去听课外知识讲座，设每名同学选择其中一个楼层下电梯的可能性相同，则乘电梯的种数是（　　）
    A．54B．45C．$\frac{5×4×3×2}{2}$D．5×4×3×2

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    9．已知圆心C在直线2x+y=0上，且圆C夹在两条平行线l1：x+y+5=0与l2：x+y-3=0之间，圆上的点到两条平行线的最小距离均为$\sqrt{2}$，则圆C的标准方程为（　　）
    A．（x-1）2+（y-2）2=2B．（x-1）2+（y+2）2=4C．（x-2）2+（y+4）2=2D．（x-1）2+（y+2）2=2

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案