Question

1．已知（$\root{3}{x}$+2x²）²ⁿ的展开式的二项式系数之和比（5x-3）ⁿ的展开式的所有项的系数之和大于992．
（1）求n的值；
（2）求（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式的常数项．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2²ⁿ-（5-3）ⁿ=992，求得n=5；
（2）写出（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵的展开式的通项公式，由x得指数等于0求得r值，则常数项可求．

解答 解：（1）由题意可得2²ⁿ-（5-3）ⁿ=992，解得2ⁿ=32，n=5；
（2）（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ =（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁵ ．
由${T}_{r+1}={C}_{5}^{r}（\sqrt{x}）^{5-r}（-\frac{1}{\root{3}{x}}）^{r}$=$（-1）^{r}{C}_{5}^{r}{x}^{\frac{15-5r}{6}}$．
令15-5r=0，得r=3．
∴（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式的常数项为$-{C}_{5}^{3}=-10$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．