Question

2．已知集合M={x，xy，lg（xy）}，N={0，|x|，y}，并且M=N，求值：（x+$\frac{1}{y}$）+（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）+（x³+$\frac{1}{{y}^{3}}$）+…+（x²⁰⁰⁴+$\frac{1}{{y}^{2004}}$）．

Answer 1

分析 先根据集合相等以及集合中元素的确定性，互异性，求出x=y=-1，xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$，当n为奇数时，xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$=-2，当n为偶数时，xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$=2，继而求出答案．

解答 解：∵集合M={x，xy，lg（xy）}，N={0，|x|，y}，并且M=N，
∴xy=1，
由M=N知M中应有一元素为0，知x，y和xy不能都≠0，从而x≠0，y≠0，故只有lg（xy）=0，xy=1，
M={x，xy，0}；
若x=|x|，则xy=y，x=1，y=1，M=N={1，1，0}与集合中元素互异性相连，故不成立，
若x=y，因为xy=1，解得x=-1，或x=1（舍去），y=-1，
∴x=y=-1，
∵xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$，当n为奇数时，xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$=-2，当n为偶数时，xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$=2，
∴（x+$\frac{1}{y}$）+（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）+（x³+$\frac{1}{{y}^{3}}$）+…+（x²⁰⁰⁴+$\frac{1}{{y}^{2004}}$）=（-2+2）+（-2+2）+…（-2+2）=0．

点评 本题考查集合相等的条件和集合元素的特征，属于中档题．