Question

8．已知实数x，y，z满足3x+2y+z=1，求x²+2y²+3z²的最小值．

Answer 1

分析 用条件3x+2y+z=1，构造柯西不等式$[{{{（x）}^2}+{{（\sqrt{2}y）}^2}+{{（\sqrt{3}z）}^2}}]•[{{3^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}+{{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}）}^2}}]≥{（3x+2y+z）^2}=1$进行解题即可

解答 解：由柯西不等式，$[{{{（x）}^2}+{{（\sqrt{2}y）}^2}+{{（\sqrt{3}z）}^2}}]•[{{3^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}+{{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}）}^2}}]≥{（3x+2y+z）^2}=1$，…（4分）
所以${x^2}+2{y^2}+3{z^2}≥\frac{3}{34}$，
当且仅当$\frac{x}{3}=\frac{{\sqrt{2}y}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}z}}{{\frac{1}{{\sqrt{3}}}}}$，即$x=\frac{9}{34}，y=\frac{3}{34}，z=\frac{1}{34}$时，等号成立，
所以x²+2y²+3z²的最小值为$\frac{3}{34}$．                           …（10分）

点评 本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用$[{{{（x）}^2}+{{（\sqrt{2}y）}^2}+{{（\sqrt{3}z）}^2}}]•[{{3^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}+{{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}）}^2}}]≥{（3x+2y+z）^2}=1$进行解决．