Question

4．某公司生产的机器其无故障工作时间X（单位：万小时）有密度函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}^{2}}，x≥1}\\{0，其他}\end{array}\right.$，公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售后使用1.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用2万小时以后出故障，则用户自己负责，求该公司售出每台机器的平均获利．

Answer 1

分析 设Y表示售出一台机器的获利，利用题意列式求解即可．

解答 解：设Y表示售出一台机器的获利．则Y是X的函数，即
Y=g（X）=$\left\{\begin{array}{l}{-1200}&{0＜X＜1.2}\\{1600-400}&{1.2≤X≤2}\\{1600}&{X＞2}\end{array}\right.$
于是E（Y）=E（g（X））=${∫}_{1}^{1.2}（-1200）\frac{1}{{x}^{2}}dx$+${∫}_{1.2}^{2}1200×\frac{1}{{x}^{2}}dx$+${∫}_{2}^{+∞}1600×\frac{1}{{x}^{2}}dx$
=1000
即该公司售出每台机器的平均获利为1000元．

点评 本题住哟考查利用定积分和函数的思想来考查随机变量的期望，属于中档题型，综合性比较强．