Question

2．已知椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（y≥0）和抛物线y²=-2$\sqrt{3}$x，斜率为$\sqrt{2}$的直线与椭圆相切且与抛物线相交于A、B两点，则|AB|=3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设斜率为$\sqrt{2}$的直线与椭圆相切方程为：y=$\sqrt{2}$x+t（t＞0）．与椭圆方程联立化为6x²+2$\sqrt{2}t$x+t²-4=0，（y≥0）．利用△=0，t＞0，解得t=$\sqrt{6}$．可得直线AB的方程为：y=$\sqrt{2}x$$+\sqrt{6}$．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
与抛物线方程联立化为x²+3$\sqrt{3}$x+3=0．利用|AB|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：设斜率为$\sqrt{2}$的直线与椭圆相切方程为：y=$\sqrt{2}$x+t（t＞0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+t}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为6x²+2$\sqrt{2}t$x+t²-4=0，（y≥0）．
△=8t²-24（t²-4）=0，t＞0，解得t=$\sqrt{6}$．
∴直线AB的方程为：y=$\sqrt{2}x$$+\sqrt{6}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-2\sqrt{3}x}\\{y=\sqrt{2}x+\sqrt{6}}\end{array}\right.$，化为x²+3$\sqrt{3}$x+3=0．
∴x₁+x₂=-3$\sqrt{3}$，x₁x₂=3．
∴|AB|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{3×（27-4×3）}$=3$\sqrt{5}$．
故答案为：3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相切性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．