Question

18．已知α为锐角，向量$\overrightarrow{a}$=（cos（α-$\frac{π}{6}$），sin（α-$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-1），且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{7}$．
（1）若β为锐角，且cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，求角β；
（2）求$\frac{sin2α-2\sqrt{3}co{s}^{2}α}{1+cos2α}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积得出2cosα=$\frac{2}{7}$，cos$α=\frac{1}{7}$，sin$α=\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，β为锐角，sin（α+β）=整体求解cosβ=cos[（α+β）-α]，即可得出角．
（2）tanα=4$\sqrt{3}$，利用公式化简得出$\frac{sin2α-2\sqrt{3}co{s}^{2}α}{1+cos2α}$=$\frac{2sinαcosα-2\sqrt{3}co{s}^{2}α}{2co{s}^{2}α}$=tanα$-\sqrt{3}$，即可求值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos（α-$\frac{π}{6}$），sin（α-$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-1），且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{7}$．
∴$\sqrt{3}$cos（$α-\frac{π}{6}$）-sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{7}$，即2cosα=$\frac{2}{7}$，cos$α=\frac{1}{7}$，sin$α=\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∵cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，β为锐角
∴sin（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∵cosβ=cos[（α+β）-α]=（-$\frac{11}{14}$）×$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{49}{98}$=$\frac{1}{2}$，
∴β=60°，
（2）∵cos$α=\frac{1}{7}$，sin$α=\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴tanα=4$\sqrt{3}$
∴$\frac{sin2α-2\sqrt{3}co{s}^{2}α}{1+cos2α}$=$\frac{2sinαcosα-2\sqrt{3}co{s}^{2}α}{2co{s}^{2}α}$=tanα$-\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题综合考查了三角变换，公式的运用，注意公式的灵活运用，角的整体变换，向量是经常与三角函数几何的题目，是高考常考的题目．