Question

3．已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}={4^{a_n}}+2{a_n}$求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设数列{a_n}的公差为d，利用a₁，a₃，a₉成等比数列，计算即可；
（Ⅱ）通过a_n=n，可得b_n=4ⁿ+2n，分类计算即可．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=1，∴a₃=1+2d，a₉=1+8d，
又∵a₁，a₃，a₉成等比数列，
∴（1+2d）²=1+8d，
解得：d=1或d=0（舍），
∴数列{a_n}的通项a_n=1+（n-1）=n；
（Ⅱ）∵a_n=n，
∴${b_n}={4^{a_n}}+2{a_n}$=4ⁿ+2n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（4+4²+…+4ⁿ）+2（1+2+…+n）
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$+n²+n
=$\frac{1}{3}$•4ⁿ⁺¹+n²+n-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查求数列的通项，考查求数列的和，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．