Question

6．已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且C上一点到C的两个焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知斜率为$\frac{1}{2}$的直线l与C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）设直线为y=$\frac{1}{2}x+m$，则由题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，根据直线与曲线相切得△=0，求得直线．

解答 解：（1）设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，由题意$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\end{array}\right.$解得a=2，b=1．
所以椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
（2）设直线为y=$\frac{1}{2}x+m$，则由题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$
得2x²+4mx+4m²-4=0
△=16m²-8（4m²-4）=0
解得m=$±\sqrt{2}$
故直线方程为$y=\frac{1}{2}x±\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查椭圆方程的求法，和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题目．