Question

7．四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为$\sqrt{3}$的同一半球面上，则当四棱锥S-ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（　　）

• A． 2-$\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{4+\sqrt{6}}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 画出图形，判断四棱锥体积最大时S的位置，然后求解底面ABCD的中心与顶点S之间的距离即可．

解答 解：四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为$\sqrt{3}$的同一半球面上，则当四棱锥S-ABCD的体积最大时，顶点S与球心的连线恰好底面ABCD的一边的中点，如图：
此时球心O到底面中心F的距离为：OF=${\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}}^{\;}$=1．即EF=OF=1，
∠SEF=45°，
SE=$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，SF=$\sqrt{{EF}^{2}+{ES}^{2}-2EF•EScos45°}$=$\sqrt{4+\sqrt{6}}$
所求距离为：$\sqrt{4+\sqrt{6}}$．
故选：C．

点评 本题考查球的内接体，几何体的高的求法，考查空间想象能力以及计算能力．