Question

17．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$=1，记S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，若S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{30}$对任意n∈N^*恒成立，则正整数m的最小值是10．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$=1，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，利用等差数列的通项公式可得${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4n-3}$．
作差（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）=（S_n+1-S_n）-（S_2n+3-S_2n+1）=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{2n+2}^{2}$-${a}_{2n+3}^{2}$=$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{8n+5}$-$\frac{1}{8n+9}$，即可得出数列{S_2n+1-S_n}单调性，进而得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差数列，首项为1，公差为4．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}=1+4（n-1）=4n-3$．
∴${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4n-3}$．
∵S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，
∴（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）=（S_n+1-S_n）-（S_2n+3-S_2n+1）
=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{2n+2}^{2}$-${a}_{2n+3}^{2}$=$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{8n+5}$-$\frac{1}{8n+9}$=$（\frac{1}{8n+2}-\frac{1}{8n+5}）$+$（\frac{1}{8n+2}-\frac{1}{8n+9}）$＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}是单调递减数列，
∴数列{S_2n+1-S_n}的最大项是S₃-S₁=${a}_{2}^{2}+{a}_{3}^{2}$=$\frac{1}{5}+\frac{1}{9}$=$\frac{14}{45}$．
∵$\frac{14}{45}$≤$\frac{m}{30}$，∴$m≥\frac{28}{3}$．
又m为正整数，
∴m的最小值为10．
故答案为：10．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，恒成立问题的等价转化方法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．