Question

7．已知函数f（x）=|x-3|-|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞1；
（2）若f（x）≥|x+a|的解集包含[-2，-1]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1的解集．
（2）由题意可得，当-2≤x≤-1时，总有|x+a|≤|x-3|-|x+1|=4，故有-a-4≤x≤-a+4，可得$\left\{\begin{array}{l}-a-4≤-2\\-a+4≥-1\end{array}\right.$，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-3|-|x+1|表示数轴上的x对应点到3对应点的距离减去它到-1对应点的距离，
而$\frac{1}{2}$到3对应点的距离减去它到-1对应点的距离正好等于1，故不等式f（x）＞1的解集为{x|x＜$\frac{1}{2}$}．
（2）由题意可得，当-2≤x≤-1时，总有|x+a|≤|x-3|-|x+1|=3-x+x+1=4，
∴-a-4≤x≤-a+4，可得$\left\{\begin{array}{l}-a-4≤-2\\-a+4≥-1\end{array}\right.$，即-2≤a≤5，
故所求a的范围是[-2，5]．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．