Question

16．设f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）$g（0）=1，g（1）=\frac{5}{2}，g（-1）=\frac{1}{2}$．
（i）求g（x）的表达式；
（ii）令h（x）=f（x）-g（x），证明：函数h（x）恰有一个零点；
（Ⅱ）求证：$（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{3^2}）（1+\frac{1}{3^3}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （I）（i）解方程组$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b+c=\frac{5}{2}\\ a-b+c=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=1\\ c=1\end{array}\right.$．即可得出g（x）
（ii）利用导数判断单调性，得出h（x）有一个零点0，再运用反证法假设h（x）不只一个零点，推出矛盾，即可判断函数h（x）恰有一个零点；
（II）运用函数得出ln（x+1）≤x，$ln（\frac{1}{3}+1）＜\frac{1}{3}$，$ln（\frac{1}{3^2}+1）＜\frac{1}{3^2}$，$ln（\frac{1}{3^3}+1）＜\frac{1}{3^3}$，…，$ln（\frac{1}{3^n}+1）＜\frac{1}{3^n}$．
放缩得出等比数列求和得出$ln（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{3^2}）（1+\frac{1}{3^3}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜\frac{1}{2}$，
根据对数的概念化简放缩即可．

解答 解：（ I）（ i）∵$g（x）=a{x^2}+bx+c，g（0）=1，\;g（1）=\frac{5}{2}，\;g（-1）=\frac{1}{2}$
∴$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b+c=\frac{5}{2}\\ a-b+c=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=1\\ c=1\end{array}\right.$．                             
∴g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x+1                                        
（ ii）由（ i）知$h（x）=f（x）-g（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-x-1$，
所以h'（x）=e^x-x-1．…（5分）
设l（x）=e^x-x-1，则l'（x）=e^x-1．令l'（x）=0可得x=0．
当x＜0时，l'（x）＜0，当x＞0时，l'（x）＞0．
所以l（x）在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
所以x=0时，l（x）有极小值l（0），也就是最小值为0，
所以l（x）≥0
所以h'（x）≥0，故h（x）是R上的增函数．
又h（0）=0，所以h（x）有一个零点0，
假设h（x）不只一个零点，不妨设h（x）有两个零点，分别为x₁，x₂且x₁＜x₂．
则h（x₁）=0，h（x₂）=0，从而h（x₁）=h（x₂），
又h（x）是R上的增函数，且x₁＜x₂，所以h（x₁）＜h（x₂）
这与h（x₁）=h（x₂）相矛盾，所以假设不成立，
所以h（x）只有一个零点0，
（ II）证明：由（ I）得e^x≥x+1，当x＞-1时，有ln（x+1）≤x，
当且仅当x=0时取等号，
因此$ln（\frac{1}{3}+1）＜\frac{1}{3}$，$ln（\frac{1}{3^2}+1）＜\frac{1}{3^2}$，$ln（\frac{1}{3^3}+1）＜\frac{1}{3^3}$，…，$ln（\frac{1}{3^n}+1）＜\frac{1}{3^n}$．
$\begin{array}{l}∴ln（\frac{1}{3}+1）+ln（\frac{1}{3^2}+1）+…+ln（\frac{1}{3^n}+1）\end{array}$$\begin{array}{l}＜\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n}\end{array}$=$\frac{{\frac{1}{3}（{1-\frac{1}{3^n}}）}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3^n}}）＜\frac{1}{2}$                 
∴$ln（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{3^2}）（1+\frac{1}{3^3}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜\frac{1}{2}$，
∴（1$+\frac{1}{3}$）（1$+\frac{1}{{3}^{2}}$）（1$+\frac{1}{\;}{3}^{3}$）…（1$+\frac{1}{{3}^{n}}$）$＜{e}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{e}$=$\sqrt{3}$
故：$（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{3^2}）（1+\frac{1}{3^3}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜\sqrt{3}$．

点评 本题综合考查了函数性质，不等式，放缩法的运用，融合入了等比数列的运用，知识综合较多，难度较大，关键是利用好ln（x+1）≤x，转为等比数列．