Question

6．已知设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，S₄=5S₂，求$\frac{{a}_{2}•{a}_{7}}{{a}_{{4}^{2}}}$的值．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，由于S₄=5S₂，可得${a}_{1}（1+q+{q}^{2}+{q}^{3}）$=5a₁（1+q），解得q．再利用等比数列的通项公式可得$\frac{{a}_{2}•{a}_{7}}{{a}_{{4}^{2}}}$=q．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵S₄=5S₂，
∴${a}_{1}（1+q+{q}^{2}+{q}^{3}）$=5a₁（1+q），
化为（1+q）（q-2）（q+2）=0，
解得q=-1，±2．
∴$\frac{{a}_{2}•{a}_{7}}{{a}_{{4}^{2}}}$=$\frac{{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{6}}{（{a}_{1}{q}^{3}）^{2}}$=q=-1或±2．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．