Question

1．变量x，y满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{kx+y-2k≤0}\end{array}\right.$，当k≥2时，对应的可行域面积为s，则z=$\frac{ks}{k+2}$的范围是[0，+∞）．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出可行域的面积s，结合分式的特点以及基本不等式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
直线kx+y-2k=0过点A（2，0），B（0，2k），
则△的面积s=$\frac{1}{2}×2×2k$=2k，
则z=$\frac{ks}{k+2}$=$\frac{k•2k}{k+2}$=$\frac{2{k}^{2}}{k+2}$=$\frac{2（k+2）^{2}-8（k+2）+8}{k+2}$
=2（k+2）+$\frac{8}{k+2}$-8，
∵k≥2，∴k+2≥2，
设t=k+2，
则z=f（t）=2t+$\frac{8}{t}$-8=2（t+$\frac{4}{t}$）-8，在[2，+∞）上为增函数，
∴z=f（t）≥f（2）=2（2+2）-8=8-8=0，
即z≥0，
故z=$\frac{ks}{k+2}$的范围是[0，+∞），
故答案为：[0，+∞）

点评 本题主要考查不等式的应用，根据线性规划求出可行域的面积以及利用基本不等式是解决本题的关键．