Question

10．已知数列{a_n}和{b_n}中，数列{a_n}的前n项和为S_n，若点（n，S_n）在函数y=-x²的图象上，点（n，b_n）在函数y=2^x的图象上
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由点（n，S_n）在函数y=-x²的图象上，可得${S}_{n}=-{n}^{2}$．利用递推式可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．当n=1时，a₁=S₁，即可得出．
（2）由点（n，b_n）在函数y=2^x的图象上，可得b_n=2ⁿ．a_nb_n=（1-2n）•2ⁿ．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵点（n，S_n）在函数y=-x²的图象上，∴${S}_{n}=-{n}^{2}$．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-n²+（n-1）²=1-2n．当n=1时，a₁=S₁=-1，符合上式．
∴a_n=-2n+1．
（2）∵点（n，b_n）在函数y=2^x的图象上，∴b_n=2ⁿ．
∴a_nb_n=（1-2n）•2ⁿ．
∴T_n=-1×2¹-3×2²-5×2³-…-（2n-1）-2ⁿ，
∴2T_n=-1×2²-3×2³-…-（2n-3）×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹．
∴T_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ+（1-2n）×2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．