Question

9．已知椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=$\frac{1}{2}$，圆x²+y²-2$\sqrt{3}$y-6=0的圆心E恰好是该椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于不同的A，B两点，设点B关于x轴的对称点为G．
①求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围；
②证明：直线AG与x轴相交于一定点．

Answer 1

分析 （1）由已知椭圆的离心率得到a，b的关系，结合双曲线的焦点坐标求得椭圆的短半轴，结合隐含条件得答案；
（2）①设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得k的范围，把$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$代入根与系数关系化为含有k的代数式，由k的范围求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围；
②求出B点关于x轴的对称点的坐标，写出直线AG的方程，求得与x轴的交点的横坐标，代入①的根与系数关系得答案．

解答 （1）解：由题意知，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$
∴c=1，a=2．
∴故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），
代入椭圆方程，整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．
由△=（-32k²）²-4•（3+4k²）（64k²-12）＞0，得：-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$．
设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$①，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²=25-$\frac{87}{4{k}^{2}+3}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围是[-4，$\frac{13}{4}$）；
②证明：∵B，G关于x轴对称，
∴点G的坐标为（x₂，-y₂），
直线AG的方程为y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），
令y=0，得x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
∴x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$．
把①式代入得x=1．
∴直线与x轴相交于定点（1，0）．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．