Question

16．函数y=3sinx-4cosx，x∈[0，π]的值域为[-4，5]．

Answer 1

分析 易得y=3sinx-4cosx=5sin（x+φ），其中tanφ=-$\frac{4}{3}$，|φ|＜$\frac{π}{2}$，由反三角函数和导数的知识可得值域．

解答 解：由题意可得y=3sinx-4cosx
=5（$\frac{3}{5}$sinx-$\frac{4}{5}$cosx）=5sin（x+φ），
其中tanφ=-$\frac{4}{3}$，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∵-$\sqrt{3}$＜tanφ=-$\frac{4}{3}$＜-1，
∴-$\frac{π}{3}$＜φ＜-$\frac{π}{4}$，又∵0≤x≤π，
∴-$\frac{π}{3}$＜x+φ＜$\frac{3π}{4}$，
∴当x+φ=x-arctan$\frac{4}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数取最大值5，
又函数在（0，$\frac{π}{2}$-arctan$\frac{4}{3}$）上单调递增，在（arctan$\frac{4}{3}$，π）单调递减，
∴当x=0时，函数取最小值-4，
故函数的值域为[-4，5]
故答案为：[-4，5]

点评 本题考查三角函数的最值，涉及辅助角公式和导数和单调性的关系，属中档题．