Question

7．如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积为（　　）

• A． 8$\sqrt{2}$
• B． $\frac{8\sqrt{2}π}{3}$
• C． 4$\sqrt{2}$π
• D． $\frac{16\sqrt{2}π}{3}$

Answer 1

分析 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥；
画出图形，求出该三棱锥外接球的直径，再求外接球的体积．

解答 解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥；
如图所示，
PA⊥AB，PA⊥AC，且AB∩AC=A，
∴PA⊥平面ABC，
又AB⊥BC，
∴PC是三棱锥P-ABC外接球的直径；
又PC=$\sqrt{{PA}^{2}{+AC}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴该外接球的半径为$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{2}$，
外接球的体积为$\frac{4}{3}$π•${（\sqrt{2}）}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．
故选：B．

点评 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．