Question

1．已知x∈[0，1]，则f（x）=$\frac{x-2{x}^{2}}{x+2}$的值域是[-1，0]．

Answer 1

分析 化简得出y=$\frac{2-t-2（t-2）^{2}}{t}$=7-2t-$\frac{6}{t}$，t∈[2，3]，构造g（t）=2t+$\frac{6}{t}$，t∈[2，3]，利用单调性不等式求解即可．

解答 解：∵x∈[0，1]，f（x）=$\frac{x-2{x}^{2}}{x+2}$，
∴设t=x+2，t∈[2，3]，x=2-t，
y=$\frac{2-t-2（t-2）^{2}}{t}$=7-2t-$\frac{6}{t}$，t∈[2，3]，
∴g（t）=2t+$\frac{6}{t}$，t∈[2，3]，
根据对钩函数的单调性得出g（t）在t∈[2，3]单调递增，
∴g（2）≤g（t）≤g（3），
7≤g（t）≤8，
即可得出7-8≤y≤7-7，
f（x）=$\frac{x-2{x}^{2}}{x+2}$的值域是[-1，0]
故答案为：[-1，0]．

点评 本题考查了函数的换元法转化求解值域问题，关键是理解对钩函数的单调性，考查了学生的分析变换的能力．