Question

13．已知函数f（x）=x²-ax+a-1，a∈R．
（1）若f（x）在区间[0，2]上单调，求a的取值范围；
（2）若对于任意a∈（0，4），存在x₀∈[0，2]，使得t≤|f（x₀）|成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）的图象与性质得，函数的对称轴不在[0，2]内即可；
（2）讨论f（x）在[0，2]上的单调性，求出f（x）在[0，2]的最大、最小值，即可得出t的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-ax+a-1，a∈R；
当f（x）在区间[0，2]上是单调函数时，
对称轴x=$\frac{a}{2}$应满足$\frac{a}{2}$≤0或$\frac{a}{2}$≥2，
即a≤0或a≥4，
∴a的取值范围是{a|a≤0或a≥4}；
（2）∵f（x）=x²-ax+a-1的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
且a∈（0，4），∴$\frac{a}{2}$∈（0，2），
∴函数f（x）=x²-ax+a-1在[0，$\frac{a}{2}$]上是减函数，
在[$\frac{a}{2}$，2]上是增函数；
∴函数f（x）=x²-ax+a-1在[0，2]的最小值为f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{（a-2）}^{2}}{4}$∈（-1，0），
①当$\frac{a}{2}$∈[1，2），即2≤a＜4时，
函数f（x）=x²-ax+a-1（x∈[0，2]）在x=0时取得最大值，
且最大值为a-1，
由于此时2≤a＜4，则1≤a-1＜3；
②当$\frac{a}{2}$∈（0，1），即0＜a＜2时，
函数f（x）=x²-ax+a-1（x∈[0，2]）在x=2时取得最大值，
且最大值为2²-2a+a-1=3-a，
由于此时0＜a＜2，则1＜3-a＜3；
综上，函数f（x）在x∈[0，2]上满足0≤|f（x）|＜3，
∴t＜3；
即t的取值范围是（-∞，3）．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了恒成立问题与存在性问题，是综合性题目．