Question

16．已知函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调；
（3）试探究：是否存在实数x₁、x₂（x₂＞x₁＞0），使当x∈[x₁，x₂]时，函数f（x）的值域为[kx₁-1，kx₂-1]（k∈R）？若存在，试确定实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）=lnx-ax（a∈R）的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0，求出函数的减区间；
（2）采用分类讨论办法给出证明．
（3）利用（2）的结论说明理由．

解答 解：（1）函数的定义域是（0，+∞），
${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-1$＞0，得0＜x＜1，
f′（x）＜0，得x＞1，
∴函数f（x）的单调增区间（0，1），减区间（1，+∞）；
（2）证明：${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-a$，
当a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）的单调增区间（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{a}$；f′（x）＜0，$x＞\frac{1}{a}$．∴函数f（x）的单调增区间（0，$\frac{1}{a}$），减区间（$\frac{1}{a}$，+∞），
∴对任意给定的正数m，总存在实数a，只要m＜$\frac{1}{a}$，即m＞a时，使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调．
（3）由题意知，若存在实数x₁、x₂（x₂＞x₁＞0），使当x∈[x₁，x₂]时，函数f（x）的值域为[kx₁-1，kx₂-1]（k∈R），则f（x）为单调增函数，这与（2）矛盾，所以不存在．

点评 本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．