Question

5．在平面直角坐标系xOy中，己知点 A（-3，4），B（9，0），C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD．
（1）若AC=4，求直线CD的方程；
（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）．
（3）当△OCD的外接圆面积为$\frac{25π}{8}$时，求△OCD的外接圆方程．

Answer 1

分析 （1）求出C，D的坐标，可得直线CD的斜率，即可求直线CD的方程；
（2）利用圆的一般方程，可得△OCD的外接圆的方程为x²+y²-4x-3y-5m（x+2y）=0，令x²+y²-4x-3y=0，则x+2y=0，即可得出：△OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）．
（3）当△OCD的外接圆面积为$\frac{25π}{8}$时，半径为$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，由（2）知圆心为（$\frac{5m+4}{2}$，$\frac{10m+3}{2}$），又过定点（2，-1），
求出圆的半径，建立方程求出m，即可求△OCD的外接圆方程．

解答 解：（1）因为A（-3，4），所以OA=5，
又因为AC=4，所以OC=1，所以C（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），…2分
由BD=4，得D（5，0），
所以直线CD的斜率$\frac{0-\frac{4}{5}}{5-（-\frac{3}{5}）}$=-$\frac{1}{7}$，…4分
所以直线CD的方程为y=-$\frac{1}{7}$（x-5），即x+7y-5=0．…5分
（2）设C（-3m，4m）（0＜m≤1），则OC=5m．
所以AC=OA-OC=5-5m，
因为AC=BD，所以OD=OB-BD=5m+4，
所以D点的坐标为（5m+4，0）…6分
又设△OCD的外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则有$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{9{m}^{2}+16{m}^{2}-3mD+4mE+F=0}\\{（5m+4）^{2}+（5m+4）D+F=0}\end{array}\right.$…8分
解之得D=-（5m+4），F=0，E=-10m-3，
所以△OCD的外接圆的方程为x²+y²-4x-3y-5m（x+2y）=0，
令x²+y²-4x-3y=0，则x+2y=0，所以$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$
所以△OCD的外接圆恒过定点为（2，-1）．…12分
（3）由题知外接圆面积为$\frac{25}{2}π$时半径为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$…13分
由（2）知圆心为（$\frac{5m+4}{2}$，$\frac{10m+3}{2}$），又过定点（2，-1），
故圆的半径为r=$\sqrt{（\frac{5m+4}{2}-2）^{2}+（\frac{10m+3}{2}+1）^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5{m}^{2}+4m+1}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
即5m²+4m-1=0得m=-1或m=$\frac{1}{5}$
因为0＜m≤1
所以m=$\frac{1}{5}$
此时所求圆方程为x²+y²-5x-5y=0…16分．

点评 本题考查圆的方程，考查外接圆恒过定点，考查待定系数法的运用，考查系数分析解决问题的能力，属于中档题．