Question

14．已知命题P：在R上定义运算?：x?y=（1-x）y，不等式x?ax＜1对任意实数x恒成立；命题Q：若不等式$\frac{{x}^{2}-ax+6}{x+1}$≥2对任意的x∈N^*恒成立．若P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 通过P为真，求出实数a的取值范围；通过Q为真，求实数a的取值范围，通过P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，分类讨论求出求实数a的取值范围．

解答 解：P真，（1-x）ax＜1恒成立?ax2-ax+1＞0恒成立，
（1）a=0时，恒成立，
（2）$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜4，
所以0≤a＜4，
Q真，$\frac{{x}^{2}-ax+6}{x+1}$≥2对任意的x∈N^*恒成立?a≤（x+$\frac{4}{x}$-2）_min=2，
所以a≤2，
∵P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，
∴所以P与Q为一真一假，
当P真Q假时，$\left\{\begin{array}{l}{0≤a＜4}\\{a＞2}\end{array}\right.$，解得2＜a＜4，
当P假Q真时，$\left\{\begin{array}{l}{a＜0或a≥4}\\{a≤2}\end{array}\right.$，解得a＜0，
综上所述a的取值范围为（-∞，0）∪（2，4）．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，考查分类讨论思想的应用，以及恒成立的问题，考查计算能力，属于中档题．