Question

19．如图是函数f（x）=x³+bx²+cx+d的大致图象，则x₁²+x₂²等于（　　）

• A． $\frac{16}{9}$
• B． $\frac{10}{9}$
• C． $\frac{8}{9}$
• D． $\frac{28}{9}$

Answer 1

分析 解：由图象知f（-1）=f（0）=f（2）=0，解出 b、c、d的值，由x₁和x₂是f′（x）=0的根，使用根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁•x₂=-$\frac{2}{3}$，则由x₁²+x₂² =（x₁+x₂）²-2x₁•x₂ 代入可求得结果．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，由图象知，-1+b-c+d=0，0+0+0+d=0，
8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=-1，c=-2
∴f′（x）=3x²+2bx+c=3x²-2x-2． 由题意有x₁和x₂是函数f（x）的极值，
故有x₁和x₂是f′（x）=0的根，∴x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁•x₂=-$\frac{2}{3}$．
则x₁²+x₂² =（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=$\frac{4}{9}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{9}$
故选：A．

点评 本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数，属中档题．