Question

8．变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥2}\\{2x+y≤4}\\{4x-y≥-1}\end{array}\right.$，则目标函数z=3|x|+|y-3|的取值范围是[$\frac{3}{2}，9$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：不等式组对应的平面区域如图：
∴x≥0，y≤3，∴z=3|x|+|y-3|=3x-y+3，
由z=3x-y+3得y=3x-z+3，
平移直线y=3x-z+3，由图象可知当直线y=3x-z+3经过点A时，直线y=3x-z+3的截距最大，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{4x-y=-1}\\{2x+y=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即A（$\frac{1}{2}$，3），
此时z_min=3×$\frac{1}{2}$-3+3=$\frac{3}{2}$，
当直线y=3x-z+3经过点B（2，0）时，直线y=3x-z+3的截距最小，此时z最大，
此时z_max=3×2-0+3=9，
故$\frac{3}{2}$≤z≤9，
故答案为：[$\frac{3}{2}$，9]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．