Question

7．设函数f（x）是定义R上的奇函数，若f（x）的最小周期为5，且f（2）≥2，f（3）=$\frac{{2}^{m+1}-3}{{2}^{m}+1}$，则实数m的最大值为-2．

Answer 1

分析 利用函数的周期性和奇偶性可得：f（3）=-f（2）≤-2，代入f（3）列出不等式，根据指数函数的单调性求出m的范围，即可求出实数m的最大值．

解答 解：∵f（x）的最小正周期为5，
∴f（3）=f（3-5）=f（-2），
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）≥2，
∴f（-2）=-f（2）≤-2，则f（3）=-f（2）≤-2，
∵f（3）=$\frac{{2}^{m+1}-3}{{2}^{m}+1}$，∴$\frac{{2}^{m+1}-3}{{2}^{m}+1}$≤-2，
化简得2^m+2≤1，即m+2≤0，解得m≤-2，
∴实数m的最大值为-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查函数奇偶性和周期性的综合应用，以及指数函数的单调性，考查了转化思想，属于基础题．