Question

15．从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．
（1）A，B必须当选；
（2）A，B必不当选；
（3）A，B不全当选；
（4）至少有2名女生当选；
（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．

Answer 1

分析 （1）根据题意，先选出A、B，再从其它10个人中再选3人即可，由组合数公式计算可得答案；
（2）根据题意，只需从其它10人中任选5人即可，由组合数公式计算可得答案；
（3）根据题意，按A、B的选取情况进行分类：①，A、B全不选，②，A、B中选1人，先求出每种情况的选法数目，再由分类计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，用间接法，先计算从12人中任选5人的选法数目，再分别计算①没有女学生入选，②只有1名女生入选，在总数中将其排除即可得答案；
（5）根据题意，分3步进行，①选出一个男生担任体育班委，②再选出1名女生担任文娱班委，③剩下名6男生再选2人，4名女生中再选取1人，任其它3个班委，先求出每一步的选法数目，再用分步计数原理可得即可得答案

解答 解：（1）根据题意，先选出A、B，再从其它10个人中再选3人即可，共有的选法种数为C₁₀³=120种，
（2）根据题意，A、B都不当选，只需从其它10人中任选5人即可，共有的选法种数为C₁₀⁵=252种：
（3）根据题意，按A、B的选取情况进行分类：
①，A、B全不选的方法数为C₁₀⁵=252种，
②，A、B中选1人的方法数为C₂¹C₁₀⁴=420，
共有选法252+420=672种，
（4）根据题意，从12人中任选5人，有C₁₀⁵种选法，
没有女学生入选，即全选男生的情况有C₇⁵种情况，
只有1名女生入选，即选取1女4男，有C₅¹×C₇⁴种选法，
故所有符合条件选法数为：C₁₀⁵-C₇⁵-C₅¹×C₇⁴=596种，
（5）选出一个男生担任体育班委，有C₇¹种情况，
再选出1名女生担任班长，有C₅¹种情况，
剩下名6男生再选2人，4名女生中再选取1人，任其它3个班委，有C₆²×C₄¹×A₃³种情况，
用分步计数原理可得到所有方法总数为：C₇¹×C₅¹×C₆²×C₄¹×A₃³=12600种．

点评 本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的运用，解（4）题时注意间接方法的运用，可以避免分类讨论．