Question

5．已知f（x）=[x²-（a+3）x+b]e^x，其中a，b∈R．
（1）当a=-3，b=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（2）求出函数的导数，由极值点可得f′（1）=0，可得b=2a+3，f′（x）=[x²-（a+1）x+a]e^x=（x-a）（x-1）e^x．讨论a=1，a＞1，a＜1，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间．

解答 解：（1）当a=-3，b=0，f（x）=x²e^x的导数为f′（x）=（x²+2x）e^x，
即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=3e，
切点为（1，e），
即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=3e（x-1），
即为3ex-y-2e=0；
（2）f（x）=[x²-（a+3）x+b]e^x的导数为f′（x）=[x²-（a+1）x+b-a-3]e^x，
x=1是函数f（x）的一个极值点，即有f′（1）=0，
即有b=2a+3，
则f（x）=[x²-（a+1）x+2a+3]e^x，
f′（x）=[x²-（a+1）x+a]e^x=（x-a）（x-1）e^x．
当a=1时，f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；
当a＞1时，由f′（x）＞0解得x＞a或x＜1，由f′（x）＜0解得1＜x＜a，
即有f（x）在（1，a）递减，在（a，+∞），（-∞，1）递增；
当a＜1时，由f′（x）＞0解得x＞1或x＜a，由f′（x）＜0解得a＜x＜1，
即有f（x）在（a，1）递减，在（1，+∞），（-∞，a）递增．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查导数的几何意义和函数的单调性，正确求导和运用分类讨论的思想方法是解题的关键．