Question

7．已知x=-1是函数f（x）=x³-3x²-mx+10（m∈R）的一个极值点．
（2）求m的值；
（2）求函数f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m的值；
（2）求出f（x）的单调区间．研究函数在特定区间上的最值，比较极值点和端点值的大小即判断最值．

解答 解：∵f'（x）=3x²-6x-m
又x=-1是函数f（x）=x³-3x²-mx+10（m∈R）的一个极值点．
∴f'（-1）=0
即3+6-m=0
解得m=9
（2）f'（x）=3x²-6x-9．
f'（x）=0．解得x=3或x=-1．
f'（x）＞0解得x＞3或x＜-1．即函数在（3，+∞）和（-∞，-1）上单调递增，f'（x）＜0，解得-1＜x＜3，即f（x）在（-1，3）上单调递减．
所以f（x）在[-4，3]的最大值为f（1）=-1．
f（-4）=-66
f（3）=-17
所以函数的最小值为-66．

点评 本题考查利用导数研究函数极值和单调性的能力，考查构造函数比较大小，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．